《微积分笔记》最终版_by零蛋大
Metadata
Highlights
. sin6 x C cos6 x/0 D 6 sin5 x cos x 6 cos5 x sin — location: ^ref-46281
关于绝对值：绝对值必须加，否则，可能将函数的定义域丢失一半。先加绝对值，再化简去掉绝对值 (如 果可能的话) — location: ^ref-4893
是二次可微函数, 对于任何实数 x; y 都满足函数方程 — location: ^ref-26396
微分方程 dy dx 2xy D x2 C y 的通解 — location: ^ref-11687
C 1 例题 7.7 求微分方程 — location: ^ref-38332
通过将相应齐次方程解中的任意常数变成一个未知函数来求解, 因而人们把这种方法称为常数变易法 — location: ^ref-20165
bn D . a � b/.an�1 C an�2b C C abn�2 C bn�1/ 1. — location: ^ref-7537
Jordan 不等式) — location: ^ref-50502
伯努利 (Bernoulli) 不等式) — location: ^ref-10379
p cos x C . 1 � p/ cos 0 D 1 � p. 1 � cos x/ — location: ^ref-44413
1.3 实数系的建立 1.3 实数系的建立 1.3.1 有理数与无理数 笔记 发现无理数的相关背景 无理数的发现导致了第一次的数学危机 毕达哥拉斯 (Pythagoras) 及其学派把" 万物皆数"(Numerology) 作为基本信念.“一切事物和现象都可以归 结为整数与整数的比” , 这就是所谓“数的和谐” .最早被发现的无理数是？很多人认为最早被发现的无理数是 p2, 并归功于 Pythagoras 学派的 Hippasus。也 有人主张 Hippasus 更可能发现的无理数是“黄金分割” , 之后又发现了 p2 并公布然后被扔海里给弄死了1.也有人说 Pythagoras 本人也发现了 p2 是无理数.但是因为违背其哲学未公布. 例题 1.25 证明: p2 n 为无理数 证明 当 n D 2 时, p2 显然为无理数.下面讨论 n ⩾ 3.采用反证法. 若 p2 n 为有理数，于是存在两个互素（或互质）的正整数 p; q 使得 p2 n D q () 2 D qn () qn D pn C pn p pn 最后的等式与费马大定理 (Fermat’s Last Theorem) 矛盾, 证毕 定理 1.7 (Fermat’s Last Theorem) 当 n ⩾ 3 时, xn C yn D zn 无整数解 ~ 例题 1.26 证明: 若 n 2 N C 非完全平方数, 则 pn 为无理数. 证明 (by 予一人)[4] 利用反证法. 设若 pn 是有理数, 则可设 pn D p , 其中 p; q 是互素的正整数, 于是 p2 D nq2. q 因为 p; q 互素, 则依裴蜀定理 (Bézout’s theorem), 存在整数 a; b 使得 ap C bq D 1.如此, 则有 p D ap2 C bpq D anq2 C bpq D . anq C bp/q; 这意味着 pn D p D q anq C bp 2 NC; 与 n 非完全平方数矛盾.证毕. 1.3.2 实数的公理化描述 定义 1.5 (实数) 存在唯一的完备全序域, 我们称为实数域 定义 1.6 (域) | 域 “能够做四则运算的集合” .即： F, feld, .F; C; ; 0; 1. 且 0 ⁄ 1// 如果它们满足以下性质: 1 加法封闭性：若 x; y 2 F, 则 x C y 2 F 2 加法交换律：对于任何 x; y 2 F, 有 x C y D y C x 3 加法结合律：对于任何 x; ; y; z 2 F, 有 . x C y/ C z D z C . y C z/ 4 加法存在零元：存在元素 0 2 F 满足: 对于任何 x 2 F, x C 0 D 0 C x D x 5 加法存在负元：对于任何 x 2 F, 存在唯一a一个元素 y 满足 x C y D y C x D 0.称之为 x 的相反数, 记作 ” � x”(可定义减法： x � y WD x C .�y/) 1解决不了 — location: ^ref-3715
解决不了问题, 那就解决提出问题的人, 秒啊！秒啊！ — location: ^ref-58066
但我不会去追逐！这种凑的方式就当长见识. 例题 5.13 求不定积分: Z x2px2 dx � 1 解 Z x2px2 dx � 1 D Z x3q1 1 � x2 1 dx D Z q1 — location: ^ref-27594